materi bab 4 ( LINGKARAN)

1. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Titik P(x₁, y₁) terletak pada garis g dan lingkaran x² + y² = r², seperti diperlihatkan pada Gambar 1. 

Gambar 1. Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran.

Gradien garis yang menghubungkan titik O dan titik P adalah m_OP =  . Garis g menyinggung lingkaran di P, jelas OP ┴ g sehingga m_OP·m_g = –1 atau m_g =  . Akibatnya, gradien garis g adalah :

Jadi, persamaan garis singgung g adalah :

y – y₁ = mg(x – x₁) ↔ y – y₁ = x₁/y₁ (x – x₁)

↔ y₁(y – y₁) = –x₁(x – x₁)

↔ x₁x + y₁y = x₁² + y₁² .... (i)

Titik P(x₁, y₁) terletak pada lingkaran x² + y² = r²

sehingga :

x₁² + y₁² = r² ....(ii)

Apabila persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan (i) diperoleh :

g: x₁x + y₁y = r²

Persamaan tersebut adalah persamaan garis singgung yang melalui titik P(x₁, y₁) dan terletak pada lingkaran :

L : x² + y² = r²

Anda pun dapat menentukan persamaan garis singung g melalui titik P (x₁, y₁) yang terletak pada lingkaran

L : (x – a)² + (y – b) = r² dengan pusat di M(a, b) dan jari-jari r, yaitu :

g: (x – a) (x₁ – a) + (y – b) (y₁ – b) = r²

Bersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut. Kemudian, kemukakan hasilnya di depan kelas (beberapa orang saja).

Diketahui titik P(x₁, y₁) terletak pada garis g dan lingkaran L: x² + y² + Ax + By + C = 0 seperti diperlihatkan pada Gambar 2. 

Gambar 2. Titik P(x₁, y₁) terletak pada garis g dan lingkaran L: x² + y² + Ax + By + C = 0.

Gradien garis yang menghubungkan titik T dan titik P adalah :

Garis g menyinggung lingkaran maka :

g ┴ TP dan m_g. m_MP = –1 sehingga :

Jadi, persamaan garis singgung g adalah :

y – y₁ = m_g (x – x₁)

y – y₁ =  (x – x₁)

(y – y₁) (y₁ – b) = – (x₁ – a) (x – x₁)

y₁y – by – y₁² + y₁b = –x₁x + x₁² + ax – ax₁

y₁y – by + y₁b + x₁x – ax + ax₁ = x₁² + y₁² .... (1)

Titik P(x₁, y₁) terletak pada lingkaran L sehingga diperoleh :

x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + C = 0

x₁² + y₁² = – (Ax₁ + By₁ + C) .... (2)

Substitusikan (2) pada (1), diperoleh :

y₁y – by + y₁b + x₁x – ax + ax₁ = – (Ax₁ + By₁ + C) .... (3)

Dari uraian sebelumnya, diperoleh : -1/2 A = a, -1/2 B = b, .... (4)

Substitusikan (4) pada (3) sehingga persamaan (3) menjadi :

y₁y + ½ B y – ½ B y₁ + x₁x + ½ Ax – ½ A x₁ = – Ax₁ – By₁ – C

y₁y + ½ B y + ½ y₁ + x₁x + ½ A x + ½ A x₁ + C = 0

x₁x + y₁y + ½ A (x + x₁) + ½ B (y + y₁) + C = 0

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik P(x₁, y₁) dan terletak pada lingkaran L: x² + y² + Ax + By + C = 0 adalah :

xx₁ + yy₁ + ½ A (x + x₁) + ½ B (y + y₁) + C = 0

Contoh Soal 1 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 25 di titik (4, –3).

Penyelesaian :

Titik (4, –3) terletak pada lingkaran sebab 4² + (–3)² = 25. Persamaan garis singgung g: x₁x + y₁y = r² dengan x₁ = 4 dan y₁ = –3 adalah 4x – 3y = 25.

Contoh Soal 2 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x + 2)² + (y – 1)² = 25 di titik (–6, 4).

Pembahasan :

Titik (–6, 4) terletak pada lingkaran karena (–6 + 2)² + (4 – 1)² = 25. Diketahui a = –2 dan b = 1 maka persamaan garis singgung :

(x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r²

(x₁ + 2)(x + 2) + (y₁ – 1) (y – 1) = 25

Untuk x₁ = –6 dan y₁ = 4 diperoleh :

(–6 + 2) (x + 2) + (4 – 1) (y – 1) = 25

–4 (x + 2) + 3(y – 1) = 25

–4x – 8 + 3y – 3 = 25

–4x + 3y = 14

2. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Diketahui titik P(x₁, y₁) berada di luar lingkaran :

L: x² + y² = r² … (1)

Misalkan, persamaan garis singgung yang melalui :

P(x₁, y₁) adalah :

g: y = y₁ + m(x – x₁) …(2).

Jika g menyinggung L di titik Q, Anda dapat menyubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x. Selanjutnya, Anda cari diskriminan (D) persamaan kuadrat tersebut. Oleh karena g menyinggung L maka D = 0 sehingga nilai-nilai m dapat diperoleh. Apabila nilai mdiketahui, Anda dapat menentukan persamaan garis singgung g dengan cara menyubstitusikan m ke persamaan garis g tersebut. Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut.

Contoh Soal 3 :

a. Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 25 yang dapat ditarik dari titik (7, –1).

b. Tentukan koordinat-koordinat titik singgung.

c. Tentukan persamaan garis yang menghubungkan titik-titik singgung.

Jawaban :

a. Titik P (7, –1) terletak di luar lingkaran. Coba Anda buktikan hal ini.

Misalkan, persamaan garis singgung yang melalui (7, –1) dengan gradien m adalah :

y + 1 = m(x – 7)

↔ y = mx – 7m – 1 ... (1)

Substitusi (1) ke persamaan lingkaran x² + y² = 25, diperoleh :

x² + (mx – 7m – 1)² = 25

x² + m²x² – 14m²x – 2mx + 49m² + 14m + 1 = 25

(1 + m²)x² – (14m² + 2m)x + (49m² + 14m – 24) = 0

Nilai diskriminan, yaitu :

D = (14m² + 2m)² – 4 (1 + m²) (49m² + 14m – 24)

D = 196m⁴ + 56m³ + 4m² – 100m² – 56m + 96 – 196m⁴ – 56m³

D = –96m² – 56m + 96

Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0 sehingga :

D = b² − 4.a.c = 0

⇔ (−2m² + 14m)² − 4(m² + 1)(m² − 14m + 24) = 0

⇔ 4m⁴ − 56m³ + 196m² − 4m⁴ + 56m³ − 96m² − 4m² + 56m − 96 = 0

⇔ 196m² − 96m² − 4m² − 56m − 96 = 0

⇔ 96m² + 56m − 96 = 0

⇔ 12m² + 7m − 12 = 0

(3m + 4)(4m − 3) = 0

m = 3/− 4 atau m = 4/3

Untuk m = 3/− 4 , maka persamaan garis singungnya adalah 4x + 3y − 25 = 0

Untuk m = 4/ 3 , maka persamaan garis singungnya adalah 3x − 4y + 25 = 0

b. Misalkan, titik A adalah titik singgung garis l: 4y – 3x + 25 = 0 dengan lingkaran.

l: 4y – 3x x + 25 = 0 atau l: y = 3/4 x - 25/4

Substitusi garis l ke persamaan lingkaran x² + y² = 25 diperoleh :

x² + (3/4 x - 25/3) 25 ⇔ x² + 9/16 x² - 75/8 x + 625/16 = 25

⇔ 25/16 x² - 75/8 x + 625/16 = 25

⇔ 25x² – 150x + 225 = 0

⇔ x² – 6x + 9 = 0

⇔ (x – 3)² = 0

⇔ x = 3.

Coba Anda substitusikan x = 3 pada persamaan garis singgung y = 3/4x - 25/4

Apakah Anda memperoleh titik singgung A (3, –4)?

Misalkan, titik B adalah titik singgung garis g: 3y + 4x – 25 = 0 dengan lingkaran :

g: 3y + 4x – 25 = 0 atau g: y = -4/3 x + 25/3

Substitusi garis g ke persamaan lingkaran x² + y² = 25 diperoleh :

x² + (4/3 x + 25/3) = 25 ⇔ x² + 16/9 x² - 200/9 x + 625/9 = 25

⇔ 25/9 x² - 200/9 x + 625/9 = 25

⇔ 25x² – 200x + 400 = 0

⇔ x² – 8x + 16 = 0

⇔ (x – 4)² = 0

⇔ x = 4

Coba Anda substitusikan x = 4 pada persamaan garis singgung  :

Apakah Anda memperoleh titik singgung B(4, 3)?

Jadi, koordinat titik singgung adalah A(–3, 4) dan B(4, 3).

c. Persamaan garis yang melalui titik A(–3, 4) dan B(4, 3) diperoleh dengan menggunakan rumus persamaan garis :

7y – 28 = –x – 3

x + 7y = 25

Persamaan garis yang menghubungkan titik singgung A dan B adalah x + 7y = 25.

Contoh Soal 4 : Soal Ebtanas 1998

Persamaan garis singgung melalui titik (9, 0) pada lingkaran x² + y² = 36 adalah :

Jawaban :

Misalkan, persamaan garis singgung

y – 0 = m(x – 9)

y = mx – 9m

maka L

x² + (mx – 9)² = 36

x² + m²x² – 18mx + 81 = 36

(1 + m²)x² – 18mx + 45 = 0

syarat menyinggung:

(18m)² – 4(1 +m²)(45) = 0

324m² – 180m² – 180 = 0

144m² = 180

Sumber : http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/persamaan-garis-singgung-lingkaran-melalui-suatu-titik-di-dalam-dan-luar-lingkaran-gradien-contoh-soal-pembahasan-matematika.html#ixzz2kQIa9Hpy