3. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Diketahui, persamaan garis dengan gradien m adalah g: y = mx + n. Jika titik Pterletak pada g dan lingkaran x² + y² = r² maka,

x² + (mx + n)² = r² ⇔ x² + m²x² + 2mnx + n² – r² = 0

⇔ (m² + 1)x² + 2mnx + (n² – r²) = 0

Syarat nilai diskriminan adalah D = 0 karena garis y = mx + n menyinggung lingkaran. Dengan demikian, (2mn)² – 4(m² + 1) (n² – r²) = 0

⇔ 4m²n² – 4m²n² + 4m²r² – 4n² + 4r² = 0

⇔ 4m²r² – 4n2 + 4r² = 0

⇔ 4n² = 4m²r² + 4r²

⇔ n² = (m2 + 1)r²

 atau 

Substitusikan nilai n ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh : 

Persamaan garis singgung lingkaran L: x² + y² = r² dengan gradien m adalah :

Anda pun dapat menentukan persamaan garis singgung lingkaran L: (x – a)² + (y – b)² = r² untuk gradien m dengan titik pusat lingkaran T(a, b) dan jari-jari r, yaitu :

Bersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut, hasilnya tuliskan dan jelaskan di depan kelas (beberapa siswa saja).

Contoh Soal 5 :

Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 4 dengan gradien m = –1.

Kunci Jawaban :

Persamaan garis untuk gradien m = –1 adalah y = (–1) x + n atau y = –x + n. Substitusi persamaan garis ini ke persamaan lingkaran, diperoleh :

x² + (–x + n)² = 4 ⇔ x² + x² – 2nx + n² = 4

2x² – 2nx + (n² – 4) = 0

Nilai diskriminan untuk D = 0 adalah

D = 4n² – 8(n² – 4)

0 = –4n² + 32

n² = 8

 atau 

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah  dan 

Contoh Soal 6 :

Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 2)² + (y – 3)² = 8 dengan gradien m = –1.

Penyelesaian :

Persamaan lingkaran (x – 2)² + (y – 3)² = 8 mempunyai jari-jari . Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah :

y – b = m (x – a) ±  ⇔ y – 3 = (–1)(x – 2) ± 

⇔ y – 3 = –x + 2 ± 4

⇔ y = –x + 5 ± 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :

g₁: y = –x + 9 dan

g₂: y = –x + 1.

Contoh Soal 7 :

Garis g menghubungkan titik A(5, 0) dan titik B(10 cos θ, 10 sin θ). Titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika θ berubah dari 0 sampai 2π maka titik P bergerak menelusuri suatu lingkaran. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.

Pembahasan :

Langkah ke-1

Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.

Diketahui : • garis g menghubungkan A(5, 0) dan B(10 cos θ, 10 sin θ)

• AP : PB = 2 : 3

Ditanyakan : Persamaan kurva.

Langkah ke-2

Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep perbandingan, konsep trigonometri, dan konsep persamaan umum lingkaran.

Langkah ke-3

Menentukan persamaan lingkaran dengan strategi yang telah diketahui.

A(5, 0) dan B(10 cos θ, 10 sin θ). Titik P pada AB sehingga AP : PB = 3 : 2

Amati gambar berikut.

OP = OA + 2/5 AB

OP = OA + 2/5 (OB – OA)

OP = 3/5 OA + 2/5 OB

Persamaan parameter titik P adalah :

x = 3/5 . 5 + 2/5 . 10 cos θ = 3 + 4 cos θ:

y = 3/5 . 0 + 2/5 . 10 cos θ = 4 sin θ.

Dengan demikian, x = 3 + 4 cos θ  4 cos θ = x – 3

y = 4 sin θ  4 sin θ = y

(4 cos θ)²+ (4 sin θ)² = (x – 3)² +  y²

16 (cos² θ + sin² θ ) = x² – 6x + 9 + y²

x2 + y2 – 6x = 7

Jadi, persamaan lingkarannya adalah x² + y² – 6x = 7.

Sumber : http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/persamaan-garis-singgung-lingkaran-melalui-suatu-titik-di-dalam-dan-luar-lingkaran-gradien-contoh-soal-pembahasan-matematika.html#ixzz2kQHS1vg0