3. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu
Diketahui, persamaan garis dengan gradien m adalah g: y = mx + n. Jika titik Pterletak pada g dan lingkaran x2 + y2 = r2 maka,
x2 + (mx + n)2 = r2 ⇔ x2 + m2x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0
⇔ (m2 + 1)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0
Syarat nilai diskriminan adalah D = 0 karena garis y = mx + n menyinggung lingkaran. Dengan demikian, (2mn)2 – 4(m2 + 1) (n2 – r2) = 0
⇔ 4m2n2 – 4m2n2 + 4m2r2 – 4n2 + 4r2 = 0
⇔ 4m2r2 – 4n2 + 4r2 = 0
⇔ 4n2 = 4m2r2 + 4r2
⇔ n2 = (m2 + 1)r2
atau 
Persamaan garis singgung lingkaran L: x2 + y2 = r2 dengan gradien m adalah :
Anda pun dapat menentukan persamaan garis singgung lingkaran L: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 untuk gradien m dengan titik pusat lingkaran T(a, b) dan jari-jari r, yaitu :
Bersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut, hasilnya tuliskan dan jelaskan di depan kelas (beberapa siswa saja).
Contoh Soal 5 :
Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 4 dengan gradien m = –1.
Kunci Jawaban :
Persamaan garis untuk gradien m = –1 adalah y = (–1) x + n atau y = –x + n. Substitusi persamaan garis ini ke persamaan lingkaran, diperoleh :
x2 + (–x + n)2 = 4 ⇔ x2 + x2 – 2nx + n2 = 4
2x2 – 2nx + (n2 – 4) = 0
Nilai diskriminan untuk D = 0 adalah
D = 4n2 – 8(n2 – 4)
0 = –4n2 + 32
n2 = 8
atau 
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah 
dan 
dan
Contoh Soal 6 :
Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 8 dengan gradien m = –1.
Penyelesaian :
Persamaan lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 8 mempunyai jari-jari 
. Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah :
. Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah :
y – b = m (x – a) ± 
⇔ y – 3 = (–1)(x – 2) ± 
⇔ y – 3 = (–1)(x – 2) ±
⇔ y – 3 = –x + 2 ± 4
⇔ y = –x + 5 ± 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
g1: y = –x + 9 dan
g2: y = –x + 1.
Contoh Soal 7 :
Garis g menghubungkan titik A(5, 0) dan titik B(10 cos θ, 10 sin θ). Titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika θ berubah dari 0 sampai 2π maka titik P bergerak menelusuri suatu lingkaran. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
Pembahasan :
Langkah ke-1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.
Diketahui : • garis g menghubungkan A(5, 0) dan B(10 cos θ, 10 sin θ)
• AP : PB = 2 : 3
Ditanyakan : Persamaan kurva.
Langkah ke-2
Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep perbandingan, konsep trigonometri, dan konsep persamaan umum lingkaran.
Langkah ke-3
Menentukan persamaan lingkaran dengan strategi yang telah diketahui.
A(5, 0) dan B(10 cos θ, 10 sin θ). Titik P pada AB sehingga AP : PB = 3 : 2
Amati gambar berikut.
OP = OA + 2/5 AB
OP = OA + 2/5 (OB – OA)
OP = 3/5 OA + 2/5 OB
Persamaan parameter titik P adalah :
x = 3/5 . 5 + 2/5 . 10 cos θ = 3 + 4 cos θ:
y = 3/5 . 0 + 2/5 . 10 cos θ = 4 sin θ.
Dengan demikian, x = 3 + 4 cos θ 4 cos θ = x – 3
y = 4 sin θ 4 sin θ = y
(4 cos θ)2+ (4 sin θ)2 = (x – 3)2 + y2
16 (cos2 θ + sin2 θ ) = x2 – 6x + 9 + y2
x2 + y2 – 6x = 7
Sumber : http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/persamaan-garis-singgung-lingkaran-melalui-suatu-titik-di-dalam-dan-luar-lingkaran-gradien-contoh-soal-pembahasan-matematika.html#ixzz2kQHS1vg0
-curriculum-vitae.png){kind=logo}
